LES FABULEUSES FRACTALES

article extrait du livre :

« Un miroir turbulent - Guide illustré de la théorie du chaos »

© John Briggs & E. David Peat - 1991 - InterEditions Paris
[ Edition originale : Harper & Row publishers - New York - 1989]
traduit de l'américain par Dimitri Stoquart


Mandelbrot

Wheeler

l'exemple du sang

Karl Weierstrass et la courbe "non défférenciée"

de Newton à Reymond Debois

la courbe de remplissage du plan de Guiseppe Peano

L'exemple de la côte de la Bretagne

Comprendre les fractales

Smale, Thom, Lyapunov, Ruelle et d'autres ont conçu d'importants instruments qualitatifs permettant de percevoir le mouvement de l'ordre, du chaos et du changement dans l'univers non linéaire.

Mais plus que tout autre, un mathématicien a révolutionné la science des turbulences par sa découverte d'une mesure qualitative qui a immortalisé la beauté complexe du monde-miroir.

Sa découverte a également démontré que l'univers-miroir est mystérieusement similaire à celui dans lequel nous vivons notre quotidien.

Mandelbrot

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Les études de Benoît Mandelbrot furent irrégulières et son esprit obstinément visuel. Il raconte que, lorsqu'il s'installa pour passer les examens d'entrée de la prestigieuse École Polytechnique, il fut incapable de résoudre parfaitement les problèmes algébriques mais obtint la meilleure note en traduisant mentalement les questions en images.

Aujourd'hui encore, Mandelbrot prétend ne pas connaître l'alphabet à tel point qu'il éprouve les pires difficultés à utiliser un annuaire téléphonique.

En revanche, il peut voir des choses que d'autres personnes ne peuvent percevoir. Ainsi, dit-il, « je ne programme pas les ordinateurs moi-même, mais j'ai découvert des façons de travailler de manière très interactive avec plusieurs personnes hors pair: des étudiants et des assistants, mais également des collègues comme Richard F. Voss. En fait, j'ai développé une technique d'aide au « débogage » de programmes que je ne peux comprendre, en analysant les images erronées produites par ces programmes. » Frustré par les mathématiques hautement abstraites qui lui furent enseignées, le jeune Mandelbrot cultiva une fascination pour l'irrégularité géométrique (ou plutôt non géométrique) du monde qui l'entoure. Il fut poussé par un sentiment qu'il exprima plus tard dans un aphorisme qui, selon lui,« a gagné l'honneur suprême de devenir un cliché ».

L'intuition géométrique qui le guida était que « les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les lignes côtières ne sont pas des cercles, l'aboiement d'un chien n'est pas régulier et la lumière ne se propage pas en ligne droite ».

Une fois ses études terminées, la carrière de Mandelbrot devint aussi irrégulière que les formes auxquelles il s'intéressait. Il étudia l'aéronautique au California Institute of Technology. Il fut parrainé à l'Institute for Advanced Study de Princeton par le brillant mathématicien John von Neumann et effectua des recherches dans un grand nombre de domaines. « J'étais sans cesse saisi par l'envie soudaine de laisser tomber un domaine au beau milieu

de la rédaction d'un article pour me tourner vers un nouveau centre d'intérêt dans un domaine dont je ne connaissais rien. Je me suis laissé guider par mes intuitions, mais je n'ai pu les justifier que beaucoup plus tard. » Devenu en 1958 membre de l'équipe du prestigieux centre de recherche Thomas J. Watson d'IBM à Yorktown Heights, dans l'Etat de New York, Mandelbrot y reçut le titre de Feiiow en 1974.

C'est là, dans un bâtiment vitré à la courbe régulière, planté dans les collines du comté de Westchester, que ses intuitions commencèrent à prendre forme.

Une nouvelle géométrie émergea de son esprit, incomparable à tout ce qui avait précédé. Mandelbrot venait de concevoir les fractales.

Ce nom provient du latin fractus, qui signifie irrégulier, mais Mandelbrot apprécia également ses connotations de fractionnel et de fragmenté.

Ses premières idées l'amenèrent à utiliser des fractales pour représenter des cotations boursières et produire des faux mathématiques suffisamment bons pour tromper des experts du domaine. Ses fractales montraient que les récessions importantes imitent la fluctuation journalière et mensuelle des valeurs, de sorte que le marché est auto-similaire des échelles les plus grandes aux plus petites.

Se tournant vers le problème du bruit dans la transmission de données, Mandelbrot tira un modèle exploitable de sa nouvelle géométrie et, sans utiliser de données astronomiques, il émit, sur la répartition des galaxies dans l'Univers, une hypothèse mathématique que les astrophysiciens ont depuis lors confirmée. « Je pris conscience que l'auto-similarité, loin d'être une propriété anodine et sans intérêt, constituait un moyen très puissant d'engendrer une forme. » Par « auto-similarité », Mandelbrot entendait une répétition de détails à des échelles décroissantes - la répétition de l'image de« la sauce de papa ».

Bien que Mandelbrot soit toujours un missionnaire infatigable pour ses fractales, c'est aujourd'huià peine nécessaire. Le grand physicien théoricien John Wheeler a déclaré que, par le passé, on ne pouvait se considérer scientifiquement éduqué sans comprendre l'entropie.

Wheeler

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A l'avenir, insiste Wheeler, « personne ne sera reconnu comme scientifique sans être familiarisé avec les fractales ».

L'assertion de Wheeler fait référence au fait qu'au cours des vingt dernières années, Mandelbrot a accompli un travail impressionnant pour propager son idée. Il est aujourd'hui évident que les fractales s'appliquent non seulement aux royaumes du chaos et du bruit, mais également à une grande variété de formes de la nature que la géométrie enseignée au cours des deux derniers millénaires et demi s'est révélée incapable de décrire - des formes telles que celles des lignes côtières, des arbres, des montagnes, des galaxies, des nuages, des polymères, des rivières, des schémas climatiques, du cerveau, des poumons et du système sanguin. A l'image de la physique qui avait tenté d'englober sous l'appellation de« chaos » ou « désordre » un vaste échantillon de propriétés subtiles de la nature, ces formes, parmi les plus exquises de la nature, avec toute la richesse de leurs détails, étaient ignorées par la géométrie conventionnelle. considérez la manière dont la turbulence du vent et de l'eau creuse et sculpte les formes superbes des canyons, mesas et grottes sous-marines. L'ordre n'existe-t-il pas en ces sites ? Mandelbrot affirme que la géométrie euclidienne est« morne ». En revanche, il a démontré que l'irrégularité était envoûtante et qu'il ne s'agissait pas simplement du bruit déformant les formes euclidiennes.

En fait, ce « bruit » est la signature des puissances créatrices de la nature.

l'exemple du sang

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Prenez, par exemple, la circulation du sang dans notre organisme. Dans un livre d'anatomie, les branchements répétés des veines et des artères peuvent paraître chaotiques. Néanmoins, une étude plus détaillée démontre de manière évidente que ces mêmes branchements complexes se répètent dans des vaisseaux sanguins de plus en plus petits, jusqu'aux capillaires, c'est vrai aussi pour les montagnes. A une distance de soixante kilomètres, le contour des montagnes, tout en étant irrégulier, est facilement reconnaissable. A mesure que l'on s'en approche, le nombre de détails augmente et même lorsque l'on en commence l'escalade, on distingue le même schéma d'irrégularité et de détails dans chacun des rochers.

Les systèmes complexes de la nature semblent préserver les mêmes détails à des échelles de plus en plus petites. ce problème d'échelles apparaît à nouveau lorsque l'on regarde les formes et structures merveilleuses de la nature dans un livre de photographies prises à l'aide de microscopes et de téléscopes. Des images à des échelles largement différentes donnent une impression de similitude et présentent un air de famille.

Mais comment quelque chose mesurant des milliers d'années-lumière pourrait-elle avoir quoi que ce soit de commun avec des objets pouvant tenir dans la main ou sur une tête d'épingle ? Se pourrait-il que de mêmes lois ou principes mathématiques de croissance et de forme s'appliquent à des échelles si différentes ? Mandelbrot comprit que, si tel était le cas, ces lois ne devaient avoir que peu de rapport avec la géométrie classique dans laquelle la notion d'échelle est à ce point évidente qu'elle finit par n'avoir que peu ou pas d'importance. Pouvait-on créer une mesure de l'irrégularité fondée sur des échelles ? c'est en se tournant vers des curiosités et des anomalies mathématiques qui étaient apparues aux environs de la fin du XIXe et avaient été ignorées par les mathématiciens que Mandelbrot entama son étude du problème des échelles et la concrétisation de sa vision d'un univers irrégulier et néanmoins ordonné. Etait-il possible que ces bizarreries mathématiques contiennent des indices importants de la complexité de la nature?

Karl Weierstrass et la courbe "non différenciée"

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En 1872, un mathématicien nommé Karl Weierstrass avait provoqué une petite crise dans les mathématiques en décrivant une courbe qui ne pouvait être « différenciée » mathématiquement. La capacité à différencier, c'est-à-dire à calculer la pente d'une courbe d'un point à un autre, est une caractéristique essentielle du calcul infinitésimal. Le calcul infinitésimal fut inventé indépendamment par Newton et Leibniz environ deux cents ans avant Weierstrass. Les nouvelles lois de la mécanique de Newton concernaient le changement régulier et les vitesses de changement et il devait disposer de mathématiques permettant de décrire diverses formes de changement progressif ; il les trouva dans le calcul infinitésimal.

La notion de pente est une notion relativement intuitive. On en fait l'expérience chaque fois que l'on escalade une colline. Une pente est en réalité la même chose qu'une déclivité. Dans le cas d'une voie ferrée, la valeur de la pente est parfois indiquée sur un poteau sous la forme 1 :200, par exemple. Cela signifie que tous les deux cents mètres de voie, l'altitude augmente d'un mètre. La pente ou déclivité d'une route peut devenir plus importante dans les régions montagneuses ; la pente d'une route à flanc de coteau peut atteindre 1:6 ou 1:5.

Bien entendu, les routes ne sont pas parfaitement régulières ; elles ont tendance à monter et descendre, de sorte que les déclivités indiquées sur une carte ou un panneau indicateur ne sont que des valeurs moyennes. En procédant à une analyse plus précise, il est possible de déterminer la pente dans des intervalles de plus en plus petits et de tenir compte de chaque variation de la route. Le calcul infinitésimal de Newton franchissait un pas supplémentaire.

de Newton à Debois Reymond

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L'équation mathématique de la route de côte détermine la pente ou déclivité en chaque point. Cette détermination est mathématiquement équivalente à la différenciation de l'équation de la courbe.

Depuis Newton, les mathématiciens se sont amusés à différencier des courbes, des fonctions et leur pente. Il restait néanmoins toujours un problème lorsque la courbe était discontinue, c'est-à-dire lorsque la route disparaissait subitement pour réapparaître un peu plus loin. Comment était-il possible qu'il y ait une pente à l'endroit même où la route s'arrêtait brusquement ? Mais hormis ces cas particuliers, les mathématiciens pensaient que toutes les courbes devaient avoir une pente. En langage plus formel, ils croyaient qu'une courbe continue pouvait toujours être différenciée.

Le calcul infinitésimal de Newton semblait à l'abri de toute attaque jusqu'à ce que, à la fin du XIX siècle, un mathématicien nommé Debois Reymond fasse son apparition et présente l'équation de weierstrass pour une courbe continue mais tellement complexe qu'elle ne pouvait jamais être différenciée. Il fallut un demi-siècle pour trouver une solution a la panique générale qui secoua l'univers des mathématiques. Finalement, les mathématiciens furent forcés d'admettre l'existence de telles courbes exceptionnelles. Mais ils se consolèrent d'eux-mêmes à la pensée qu'une courbe aussi complexe et absurde ne devait avoir aucun rapport avec l'univers réel.

la courbe de remplissage du plan de Guiseppe Peano

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Une autre bombe éclata aux environs de 1890 lorsque Giuseppe Peano découvrit ce qui fut baptisé une « courbe de remplissage du plan ». Une courbe n'est rien d'autre qu'une droite qui se plie et se déforme ; or, comme chaque écolier le sait, une droite n'a qu'une seule dimension. Les mathématiciens considéraient comme évident qu'une courbe, quelle qu'en soit la complexité, devait être unidimensionnelle.

Un plan lune feuille de papier, par exemple) a deux dimensions. Le plan et la courbe sont parfaitement distincts en termes de dimensions.

Figure 0.5 Etapes suivies pour la création d'une courbe de Peano. Elles peuvent être répétées jusqu'à l'infini où tout l'espace bidimensionnel est rempli par la courbe.

Cependant, Peano avait tracé une courbe qui se tordait de manière tellement complexe qu'elle remplissait en fait la totalité du papier sur lequel elle

était tracée. Aucun point du plan n'échappait à la ligne courbe de Peano, ce qui déplut aux mathématiciens. Les deux dimensions du plan résidaient dans son ensemble de points. Qu'adviendrait-il si tous ces points appartenaient également à une droite unidimensionnelle ? Comment un objet pouvait-il à la fois être unidimensionnel et bidimensionnel?

Dans Stories About Sets, Nicolài Yakovlevich Vilenkin décrit la réaction des mathématiciens:

« Tout était bouleversé ! Il est difficile de traduire en mots l'effet du résultat de Peano sur le monde mathématique. Tout semblait réduit à néant, tous les concepts mathématiques fondamentaux semblaient avoir perdu leur signification. » Ces courbes scandaleuses sans pente et à la dimension ambiguë étaient extrêmement troublantes. Le seul espoir des mathématiciens était de pouvoir les ignorer en les considérant comme une simple chimère de la pensée abstraite, une blague de mathématicien sans danger pour la manière ordonnée utilisée par les mathématiques et la géométrie pour décrire la nature. Le grand Poincaré lui-même adopta une position défensive. Il qualifia ces courbes étranges de « galerie de monstres ».

Néanmoins, soixante-dix ans après Peano> Mandelbrot prit ces courbes au sérieux et, en suivant leurs implications, fut à même de faire tourner les tables dans les mathématiques. Il démontra avec conviction qu'il était faux de penser que les courbes monstrueuses n'avaient que peu de rapport avec la géométrie de l'Univers. Tout au contraire. Il prouva qu'en elles résidait le secret de la mesure de l'irrégularité du monde réel. Le secret des fractales.

Qu'est donc exactement une fractale et de quoi est-ce fait? La figure 0.6 illustre la création d'une fractale trouvant son origine dans la courbe « flocon de neige » engendrée par Helge von Koch en 1904.

Figure 0.6 L'application successive du générateur aux côtés d'un triangle (un initiateur) crée un flocon de neige aux bords découpés dans lequel le triangle se répète à des échelles de plus en plus petites.

Fondamentalement, « l'île de Koch », ou flocon de neige, est créée par un processus d'itération dans lequel chaque étape est répétée à une échelle inférieure. On obtient ainsi une courbe de grande complexité, renfermant un nombre de détails extraordinairement élevé. Avec leurs baies, criques et promontoires, les îles de Koch rappellent de vraies îles - si ce n'est qu'elles sont beaucoup trop régulières. Les véritables îles doivent être décrites avec des fractales plus élaborées. Néanmoins, les îles de Koch illustrent un degré de complexité tout à fait étranger à la géométrie conventionnelle. De toute évidence, cette fractale simple révèle un élément nouveau sur la manière dont les mathématiques peuvent être utilisées pour décrire les formes de la nature.

L'exemple de la côte de la Bretagne

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Pour un mathématicien, cette figure renferme également des surprises moins évidentes. La première surgit lorsque l'on tente de mesurer le périmètre de l'île, c'est-à-dire de déterminer la longueur de sa ligne côtière. En fait, on peut ramener ce problème à notre Univers réel : quelle est la longueur de la côte de la Bretagne ? C'était précisément la question posée par Mandelbrot dans un article classique. La réponse lui valut sa renommée.

Les nations veulent bien évidemment connaître la longueur de leurs côtes et de leurs frontières. Lors du tracé d'une frontière entre deux pays, par exemple entre le Canada et les Etats-Unis ou entre la France et l'Espagne, les deux parties doivent s'entendre sur sa longueur. A première vue, ce problème peut sembler simple et avoir une solution simple - il suffit de mesurer la frontière. Dans la réalité, les journaux officiels et les textes géographiques donnent des longueurs différentes pour une même côte ou frontière. Comment est-ce possible ?

Est-ce dû à une négligence analytique ? Ou à une erreur de calcul ?

On pourrait croire que le problème de la longueur de la côte de la Bretagne peut être résolu simplement en prenant une bonne carte et en suivant le périmètre côtier à l'aide d'un morceau de fil, pour ensuite lire le résultat sur l'échelle imprimée au bas de la carte. Néanmoins, un temps de réflexion révèle que, sur la carte, les détails ont tendance à être adoucis et omis. Elle ne montre que les grandes courbes de la côte et ignore les nombreuses baies et criques. La solution doit donc consister à utiliser une carte plus détaillée. Dans ce cas, le fil se pliera et s'enroulera autour d'un plus grand nombre de détails. Cela signifie que la longueur de la côte sera plus importante. Est-il possible d'améliorer encore ce résultat? Si l'on procède à une mesure, par exemple à des intervalles de cent mètres le long de la côte, le résultat sera encore plus détaillé. Une fois encore, la longueur de la côte sera plus importante.

Mais pourquoi s'arrêter là, pourquoi ne pas mesurer la côte à des intervalles de cinquante mètres voire de dix mètres ? Dans chaque cas, on tiendra compte de détails de plus en plus précis et le fil se pliera de manière de plus en plus complexe. Il est maintenant évident que plus le nombre de détails inclus est important, plus longue devient la côte.

Qu'advient-il si l'on tient compte de tous les détails- les rochers, les galets, la poussière, voire les molécules ? La côte doit en réalité être infinie. En fait, la côte de la Bretagne a la même longueur que celle de Manhattan ou de la totalité des Amériques.

Elles sont toutes infinies.

C'était là la conclusion choquante à laquelle aboutissait Mandelbrot. Mais peut-elle être vraie ? Il suffit de réfléchir un peu pour être convaincu que toute figure contenant des détails à des échelles de plus en plus petites doit avoir une longueur infinie.

Evidemment, ce qui est valable pour la côte de la Bretagne l'est également pour la longueur d'une courbe de Koch, pour toutes les courbes fractales.

Dans la pratique, nous pouvons accepter une échelle conventionnelle et ignorer tous les détails en deçà de cent mètres ou d'une autre valeur. Cela équivaut à l'image d'une côte « brouillée » de sorte que les détails inférieurs à cent mètres sont estompés. S'ils pouvaient s'accorder sur une échelle, les cartographes pourraient mesurer et comparer des côtes. Cependant, du point de vue du mathématicien, un tel compromis laisse beaucoup à désirer.

Puisque mathématiquement toutes les côtes comprenant des détails réels doivent avoir une longueur infinie, est-il possible de comparer de telles figures? Nouvelle surprise puisque la réponse de Mandelbrot est oui. Cependant, elle déplace le problème de la mesure quantitative des longueurs à une nouvelle sorte de mesure qualitative fondée sur les échelles - la dimension fractale.

Comprendre les fractales

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Pour pouvoir comprendre les dimensions fractales, nous devons tout d'abord nous débarrasser des idées reçues en ce qui concerne la signification d'une dimension. La plupart pensent avoir une idée tout à fait claire de ce concept. L'espace comprend trois dimensions. Un mur, un dessus de table ou une feuille de papier ont deux dimensions. Une droite, une courbe ou une arête ont une seule dimension.

Enfin, un point ou un ensemble de points ont zéro dimension. Les dimensions rencontrées dans notre univers quotidien sont sans aucune ambiguïté : 0, 1, 2, ou 3. Mais les choses sont-elles réellement aussi simples ? Quelle est, par exemple, la dimension d'une pelote de ficelle ? Vue de loin, la pelote ressemble à un point et a par conséquent zéro dimension. Néanmoins, à seulement quelques mètres, tout revient à la normale et la pelote a trois dimensions.

Mais qu'advient-il lorsque l'on s'en approche très près ? Nous voyons alors un seul fil, tordu et enroulé. La pelote est constituée d'une ligne tordue et est, dès lors, unidimensionnelle. Encore plus près, cette ligne se transforme en une colonne d'épaisseur finie et la ficelle devient tridimensionnelle. Plus près encore, nous ne distinguons plus que de fins fils individuels qui se tordent les uns autour des autres pour former la ficelle - la pelote est redevenue unidimensionnelle.

Autrement dit, la « dimension effective » de la pelote passe sans cesse de trois à une et inversement.

(...)

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n mise en page < luc dall'armellina > lucdall@magic.fr